-
Partager cette page
Les figures de Chladni, un effet de mode ?
Jean-Rémi Dierickx - Expérimentarium de physique
Le monocorde de Pythagore ou les prolégomènes
C’est au VIe siècle avant notre ère que le grand philosophe et mathématicien Pythagore entreprend de mettre un peu d’ordre mathématique dans la gamme musicale et la notion d’harmonie. À l’aide d’un instrument rudimentaire composé d’une corde tendue par des masses et posée sur deux chevalets mobiles, Pythagore donne le ton : pour une même corde subissant une même tension, la longueur de la corde influencera la note que l’on entend. Si la longueur est divisée par deux, la note est « la même, mais plus aiguë », il s’agit de l’octave – arbitrairement, Pythagore décide de diviser en huit l’intervalle entre deux notes semblables. Si la longueur est divisée par trois, on l’appellera la quinte, etc.
Fig. 1. Illustration par un artiste médiéval de Pythagore et un "polycorde"
Physiquement, le son est un phénomène ondulatoire se propageant dans l’air depuis la source – par exemple une corde – jusqu’à l’oreille qui le perçoit. Le nombre de vibrations de cette source par seconde est appelée « fréquence » (f qui s’exprime en Hertz) ; un son aigu (on parle de « hauteur du son » pour l’expérience sensorielle) a une fréquence plus élevée qu’un son grave. Lorsqu’on pince une corde, celle-ci ne « choisit » pas la hauteur du son qu’elle produit : toutes les fréquences d’oscillations vont se propager, mais seules certaines d’entre elles s’installeront et se maintiendront dans la corde en fonction de sa longueur, son épaisseur et la tension à laquelle elle est soumise : il s’agit de la « fréquence propre » de la corde et l’onde qui se maintient dans ces conditions est dite « stationnaire ». Plus précisément, lorsque la corde vibre naturellement à sa fréquence propre dite « fondamentale », toutes les fréquences multiples entières de celle-ci se retrouvent dans le son final avec des intensités différentes ; ces fréquences multiples sont appelées « harmoniques » et sont des modes de vibration naturels. L’ensemble des fréquences d’un signal est appelé « spectre » et correspond musicalement « au timbre d’un son ». Il est possible de forcer une corde à vibrer selon un mode différent du fondamental (faire « sonner les harmoniques »), en empêchant légèrement celle-ci de vibrer à la moitié de sa longueur, ou au tiers, etc.
Fig. 2. Le monocorde de Pythagore de l'XP : la fondamentale est donnée par la première touche à gauche, l'octave par la huitième, la quinte par la cinquième, etc.
Lorsqu’on veut caractériser un son ou un phénomène ondulatoire quelconque, on va lui associer une grandeur de dimension associée à la longueur : c’est la distance parcourue par l’onde sonore pendant le temps d’une oscillation complète. Cette grandeur est appelée « longueur d’onde » (λ) ; elle est liée à la fréquence par la vitesse de propagation ou « célérité de l’onde » (pour le son dans l’air, c ~ 340m/s), selon la relation λ = c / f.
Passage à la surface
Si la vibration d’une corde est difficilement perceptible pour une oreille, on peut ajouter au dispositif une caisse de résonance. Le principe fondamental est équivalent : les dimensions de cette caisse doivent permettre de faire résonner celle-ci avec la fréquence du son produit par la corde pour que, finalement, « toute la boîte vibre ». Les musiciens du monde entier ont mis à profit cette propriété acoustique depuis l’origine de l’Humanité et, surtout, avec les instruments à cordes, où c’est la table d’harmonie qui est censée résonner aux différentes fréquences propres des cordes.
Rien d’étonnant de retrouver Galilée (1564-1642), fils du luthier Vincenze Galilei à Pise, parmi les premiers scientifiques d’Occident à mentionner l’apparition de motifs sur les tables d’harmonie vibrantes des guitares lorsque celles-ci sont saupoudrées de sciure.
C’est toutefois au nom du physicien prussien Ernst Florence Friedrich Chladni (1756-1827) que sont associés ces motifs, puisqu’il est le premier à les étudier avec rigueur et à publier ses résultats dans deux ouvrages considérés comme fondateurs de l’acoustique moderne : Entdeckungen über die Theorie des Klanges (1787) et Die Akustik (1802) – traduit et réécrit par lui-même en français en 1809.
Une onde stationnaire dans une corde porte ce nom car elle ne semble effectivement pas se propager le long de celle-ci ; certains points de la corde oscillent avec une grande amplitude (les « ventres »), d’autres n’oscillent presque pas (les « nœuds »). L’explication réside dans le fait que l’onde se propage bel et bien à travers la corde (avec une célérité c), mais se réfléchit sur les deux extrémités de celle-ci. Les bords de la corde jouent le rôle de sources virtuelles qui peuvent interférer entre elles : sur les ventres, les ondes arrivent en concordance de phase et interfèrent constructivement ; sur les nœuds, les ondes arrivent en opposition de phase et interfèrent de manière destructive. On comprend alors pourquoi toutes les ondes de fréquences quelconques ne peuvent pas subir ce genre d’interférence et générer une onde stationnaire pour une corde donnée, puisque la longueur de la corde correspond à la distance entre les « deux sources » et doit être liée à la longueur d’onde du son fondamental ou de ses harmoniques, et donc de sa fréquence fondamentale ou de son « mode propre », si on y inclut tout le spectre.
Fig. 3. Toutes les fréquences ne vont pas former des ondes stationnaires. Dans le cas où elles peuvent exister, on numérotera les modes stationnaires en fonction du nombre de ventres qui apparaissent (m=1 correspond au fondamental, m=2 à l’octave, m=3 à la quinte, etc.).
Les figures de Chladni sont, pour le plan, l’équivalent des modes propres de vibration d’une corde, à ceci près que l’onde se propage dans deux dimensions (on peut éventuellement faire l’impasse sur l’épaisseur de la plaque, dans un premier temps) et se réfléchissent sur les bords. Pour les faire apparaître, l’expérimentateur doit fixer les plaques par un trou central, afin de leur permettre de vibrer librement autour de ce point fixe. Pour faire vibrer la plaque, Chladni a l’idée d’utiliser un archet de violon, qu’il frotte sur l’arête de la plaque saupoudrée de sable fin. Lorsque la plaque vibre, apparaissent des motifs où le sable s’accumule (des lignes de nœuds) et des zones où le sable est repoussé (les ventres). Chladni reproduit chacun des motifs de la trentaine de figures qu’il parvient à faire apparaître sur des plaques de formes et de tailles différentes et parvient également à leur associer, à l’oreille, la fréquence du son émis, avec une précision de l’ordre du demi-hertz !
À noter que la contribution à l’acoustique de Chladni ne se limite pas aux figures éponymes puisque, entre autres choses, ses mesures très précises de la vitesse du son dans des tuyaux d’orgue remplis de gaz différents permettra à Laplace de déterminer la formule empirique de la vitesse du son, en lien avec la théorie des gaz parfaits.
Fig. 4. Les figures de Chladni apparaissant sur des plaques vibrantes, d’après « Die Akustik », 1802, tab. 4.
Petites et grandes histoires autour de quelques lignes de sable
Poser les équations du mouvement ondulatoire dans une corde fixée aux deux extrémités et les résoudre exige quelques connaissances mathématiques familières à tous les étudiants de physique du XXIe siècle. Jouer avec les fonctions trigonométriques pour trouver des solutions à l’équation différentielle générale contrainte par des conditions aux bords est d’ailleurs moins complexe qu’il n’y paraît ; il en résulte également la détermination des positions des points particuliers que sont les nœuds et les ventres pour les différents modes de vibration.
L’affaire se corse lorsqu’on passe à la plaque vibrante et, à la suite du concours lancé par Napoléon, c’est d’abord la mathématicienne et physicienne française Marie-Sophie Germain (1776-1831) qui propose, en 1821, une équation générale des ondes stationnaires dans une plaque vibrante. En 1850, Gustave Kirchhoff (1824-1887) corrige les conditions aux bords proposées par Germain afin de mieux modéliser l’élasticité de la plaque. Il faut cependant attendre 1909 et les développements mathématiques du physicien suisse Walther Ritz (1878-1909) autour du calcul de variation pour parvenir à déterminer théoriquement les différentes formes des figures de Chladni dans une plaque rectangulaire, dont il calcule manuellement les solutions quelques mois avant sa mort.
La méthode de résolution proposée par Ritz s’appuie sur les notions d’opérateurs sous forme de matrice dont on cherche les valeurs propres, dont découlent les solutions à travers les vecteurs propres associés. Cette méthode sera utilisée par Erwin Schrödinger (1887-1961) pour proposer des solutions à son équation d’onde en mécanique quantique. Les solutions à deux dimensions sont d’ailleurs quasiment les mêmes que pour les figures de Chladni ; Schrödinger les utilise pour modéliser son atome d’hydrogène.
En 2012, un duo de mathématiciens de l’Université de Genève (Martin J. Gander et Felix Kwok) va revisiter la problématique et développer un programme informatique permettant de résoudre les figures de Chladni avec la puissance de calcul des ordinateurs. De façon remarquable, les valeurs calculées par Ritz ne diffèrent que de quelques dixièmes de pourcent et les schémas reproduits par Chladni coïncident avec ceux calculés théoriquement avec une précision du même ordre. Le modèle développé par Gander et Kwok trouve son utilité dans la physique des matériaux, afin de déterminer les modes de vibration propres de certaines surfaces, comme des ponts, des passerelles ou même des carlingues d’avions. De façon plus qualitative, les luthiers modernes continuent à utiliser les figures de Chladni afin de vérifier que les tables d’harmonie de leurs instruments résonnent effectivement aux fréquences pour lesquelles ils sont censés être utilisés. L’absence de figure pour une fréquence donnée indique un défaut d’homogénéité de la plaque et une correction nécessaire.
Outre sa contribution à l’acoustique, Chladni était un grand voyageur ; il est le premier à postuler sérieusement l’origine extraterrestre interstellaire des météorites – considérés jusque-là comme des phénomènes atmosphériques –, hypothèse vérifiée plus tard par le physicien français Jean-Baptiste Biot (1774-1862). À noter, enfin, que Chladni avait imaginé entrer dans la postérité grâce à l’invention d’un instrument de musique, l’« euphone ». Le principe de fonctionnement de cet instrument est intimement lié à celui des plaques vibrantes et mérite qu’on y prête une oreille curieuse !
Fig. 5. L'euphone tel que proposé par Chladni
Fig. 6. Une version moderne de l'euphone. Les tiges en verre sont frottées et font résonner des tiges métalliques de tailles différentes, créant un son qui résonne ensuite dans les plaques métalliques.
Les plaques de Chladni du magasin ‘Koenig’
Karl Rudolph Koenig (1832-1901) est un savant prussien reconnu pour son habileté à construire des instruments acoustiques : après une période d’apprentissage de sept ans auprès du luthier français Jean-Baptiste Vuillaume, il développe toute une série de diapasons et de résonateurs disponibles à la vente dans son magasin parisien à partir de 1858. Il est aussi un pionnier du phonographe inversé (dix-huit ans avant le brevet d’Edison) et travaille avec Hermann von Helmholtz sur les premiers contrôleurs électriques d’appareils acoustiques. Les plaques de Chladni présentées à l’Expérimentarium de physique sont issues de ce magasin, dont l’essentiel du catalogue a été vendu en 1889 lors de l’Exposition Universelle de Paris.
Fig. 7. Les plaques de Chladni de l'XP, que l'on met en vibration avec un archet de violoncelle
Fig. 8. Quelques figures de Chladni… Retrouverez-vous les modes auxquels elles correspondent ?
Fig. 9. Détail du pied de la plaque centrale. Le sable visible est la preuve de son utilisation permanente.
Références
Catalogue des appareils d’acoustique construits par Rudolph Koenig, Paris, 1889 (https://soundandscience.net/texts/catalogue-des-appareils-dacoustique-construits-par-rudolph-koenig/).
Chladni, E.F.F., Über den Ursprung der von Pallas gefundenen und anderer ihr ähnlichen Eisenmassen und über einige damit in Verbindung stehende Naturerscheinungen, Leipzig, 1794.
Chladni, E.F.F., Die Akustik, Leipzig, 1802.
Chladni, E.F.F., Entdekungen über die Theori des Klanges, Leipzig, 1821.
Écouter l’euphone ? (https://www.youtube.com/watch?v=VRcjkMQ0HIg&pp=ygUHZXVwaG9uZQ%3D%3D).
Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles (trad. M. Clavelin), Paris, A. Colin, 1970.
Germain, S., Recherches sur la théorie des surfaces élastiques, Paris, Mme Veuve Courcier, 1821.
Gander, M.J. & F. Kwok, Chladni Figures and the Tacoma Bridge: Motivating PDE Eigenvalue Problems via Vibrating Plates, Society for Industrial and Applied Mathematics, 54, 2012, p 573-596.
Gesammelte Werke - Walther Ritz - Œuvres, Société suisse de physique, Gauthier-Villars, Paris, 1911, p. viii.